a) Đường thẳng d đi qua M₁( -3 ; -2 ; 6) và có vectơ chỉ phương (2 ; 3 ; 4).

Đường thẳng d' đi qua M₂( 5 ; -1 ; 20) và có vectơ chỉ phương (1 ; -4 ; 1).

Ta có = (19 ; 2 ; -11) ; = (8 ; 1 ; 14)

và = (19.8 + 2 - 11.4) = 0

nên d và d' cắt nhau.

Nhận xét : Ta nhận thấy , không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t = 6 => t = -3, thay vào (1) có t' = -2, từ đó d và d' có điểm chung duy nhất M(3 ; 7 ; 18). Do đó d và d' cắt nhau.

b) Ta có : (1 ; 1 ; -1) là vectơ chỉ phương của d và (2 ; 2 ; -2) là vectơ chỉ phương của d' .

Ta thấy và cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1 ; 2 ; 3) ∈ d ta thấy M d' nên d và d' song song.

VTCP của \(\Delta\) là \(\overrightarrow{u}=\left(-2;2\right)=2\left(-1;1\right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\Delta\) 

\(\Rightarrow\Delta\) vuông góc \(MH\) \(\Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{MH}=0\)

Do \(H\in\Delta\Rightarrow H\left(-2-2t;1+2t\right)\Rightarrow\overrightarrow{MH}=\left(-5-2t;2t\right)\)

Ta có: \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{MH}=0\Leftrightarrow-1\left(-5-2t\right)+1.2t=0\Leftrightarrow5+4t=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow H\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\).

a)\(\Rightarrow d:4x+5y+14=0\)

\(d':4x+5y+14=0\)

Ta có: \(\dfrac{4}{4}=\dfrac{5}{5}=\dfrac{14}{14}\) \(\Rightarrow d\equiv d'\)

b) \(\Rightarrow d:x+2y-5=0\)

Ta có: \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{-5}{-10}\) \(\Rightarrow d\equiv d'\)

c) Ta có: \(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{1}{1}\) \(\Rightarrow d\) cắt \(d'\)

1.

Lấy \(M\left(1;-1\right)\) là 1 điểm thuộc \(\Delta\)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in\Delta'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=1+1=2\\y'=-1+a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow M'\left(2;-1+a\right)\)

Do M' thuộc \(\Delta'\) nên:

\(2+2\left(-1+a\right)-1=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{v}=\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\)

2. Xem lại đề bài, chỉ có \(d_1;d_2\) và không thấy d đâu hết

Lời giải:

Đường thẳng $(d_1)$ có VTCP là \(\overrightarrow{u_1}=(-\sqrt{2}; \sqrt{2})\)

Đường thẳng $(d_2)$ có VTCP là \(\overrightarrow{u_2}=(-2;2)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{u_2}=\sqrt{2}.\overrightarrow{u_1}(1)\)

Gọi $A(2,2)$ thuộc $(d_1)$

Thay tọa độ điểm $A$ vào $(d_2)$ ta thấy không thỏa mãn nên $A\not\in (d_2)(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow (d_1); (d_2)$ song song với nhau.

\(\Delta\) có vecto chỉ phương \(\vec{u_{CP}}=\left(-2;9\right)\)

Phương trình tổng quát đường thẳng d:

\(-2\left(x+5\right)+9\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-9y+37=0\)